O(n)模型是统计物理和凝聚态物理领域的基本模型，其n=1的特例即Ising模型，可用于描述自规避随机行走、量子磁体、冷原子系统等。四维O(n)模型的热力学相变和三维O(n)模型的量子相变属于同一普适类，且同处于上临界维度。
另一方面，有限尺寸标度是研究相变问题的重要工具，可用于从一系列有限系统中获得临界点、临界指数等二阶相变的重要参数。然而，在一些情形下，幂律形式的有限尺寸标度受到对数修正的显著影响，后者的精确形式未知、收敛速度缓慢，使得定量分析异常困难，甚至影响定性结论的准确性。因此，有限尺寸标度的对数修正问题被国际同行描述为具有“臭名昭著的困难”。
邓友金教授（中国科学技术大学和福建闽江学院）、吕建平教授（安徽师范大学）、陈锟博士（新泽西州立罗格斯大学）等人组成研究团队，针对上临界维度O(n)模型的对数有限尺寸标度作了深入探索。该团队揭示了上临界维度O(n)模型有限尺寸标度的物理图像，并由此建立了自由能的标度公式，其中同时包括一个与高斯不动点对应的标度项和一个含乘积型对数修正的标度项。
临界点上的两点关联函数具有两尺度的标度行为：短程关联由高斯不动点主导，随距离增大呈幂律形式的衰减；长程关联呈现平台形式，且平台高度随尺寸增大呈现具有对数修正的幂律衰减行为。
该团队借助高效蒙特卡洛算法，通过大规模的数值模拟，高精度测定有限系统的两点关联函数，并对磁化率、磁涨落的非零傅里叶模、磁化强度等宏观物理量的有限尺寸标度开展系统分析，由此验证了上临界维度O(n)模型的对数有限尺寸标度的物理图像和精确形式。
基于蒙特卡洛模拟，验证对数有限尺寸标度的精确形式（n=2). (a) 两点关联函数；(b)距离为L/2的两点关联；(c)磁化率；(d)磁涨落非零模。
该工作为处理临界系统中的对数修正问题提供了新的研究思路。研究者给出的对数修正精确形式可直接应用于三维O(n)量子相变，从而促进量子磁体和冷原子系统中相关相变问题的研究。该研究工作已于近期在《国家科学评论》发表（National Science Review, nwaa212, 2020）。
在论文审稿过程中，全部四位审稿人都给与了高度评价。其中一位审稿人指出：“我个人觉得这是一篇极富启发性的文章。利用微扰展开，研究低于上临界维度的、具有O(n)对称性的模型是标准教科书里的内容。很多人理所当然地认为，至少四维情形在1970年代开始就已经被完全理解。如果是这样，这篇文章证明他们是错的。”（This is paper which I personally found very enlightening. The study of models with O(n) symmetry in aperturbative expansion below the upper critical dimension is standard textbook material, and many people would be tempted to believe that at least the behavior in 4 dimensions has been completely understood since the 1970's. If so, this paper would prove them wrong）。
另一位审稿人评论：“在中国、某种程度上在全世界范围内，极少课题组在如此艰难的问题上开展工作。”（There are very few groups in the China, to some extent also globally, who are working on such difficult problems）
(转自中国科学杂志社)